grandov.ru страница 1
скачать файл
Глава 2

Исследование позитронных


и позитрониевых состояний в кристалле

В предыдущей главе было установлено, что существуют стационарные состояния систем позитрон (атом Рs) - кристалл, так как характерные времена протекания позитронных процессов составляют 10–16 с, ионных процессов - 10–13 с, а самое короткое время жизни относительно аннигиляции равно примерно 10-10 с. Причем позитрон и атом Рs находятся в тепловом равновесии с решеткой кристалла, т.е. они термализованы. В общем случае при облучении позитронами идеального кристалла образуются позитронные состояния следующего типа: электроны, позитроны, дырки, экситоны, атом Рs и комплексы различной природы [366]. Теория таких состояний в полупроводниках и ионных кристаллах анализировалась в рамках известных расчетных моделей квантовой физики твердого тела [196, 199]. Удалось установить как условие стабилизации этих состояний в кристалле (например, атом Рs в идеальной кристаллической решетке), так и условие их деструкции (например, распад атома Рs при экранировании кулоновского взаимодействия между электроном и позитроном свободными носителями в полупроводниках). Теория этих состояний, однако, нуждается в более строгом обосновании и дальнейшем развитии. Наиболее эффективным методом описания свойств таких состояний является метод квантовополевой теории твердого тела [190]. Поэтому ниже в рамках этой теории дается описание свойств (эффективные массы, выражение для энергий и т.п.) позитронных состояний в идеальных кристаллах.



2.1. Общий подход

Изложим метод вторичного квантования для электронов и позитронов в твердом теле. Согласно [366], можем выписать выражение для одночастичных электронных и позитронных состояний в представлении вторичного квантования



. (2.1)

Здесь операторы и a+ являются операторами рождения и определены в [366]; С - коэффициент разложения, причем ;


Ф0 - волновая функция вакуумного состояния; - функция, удовлетворяющая общему одночастичному уравнению Шредингера

. (2.2)

Аналогично может быть рассмотрено общее состояние двух частиц с координатами и



. (2.3)

Причем, как и выше,



. (2.4)

Выбирая стандартный гамильтониан, получаем уравнение


Шредингера для двух частиц

. (2.5)

Эти результаты могут быть обобщены на случай многих частиц:


n электронов и m позитронов.

2.2. Проблема многих электронов и позитронов


в твердом теле

Проблема многих электронов и позитронов в рамках метода вторичного квантования может быть сформирована на основании следующей картины: электроны и позитроны движутся в строго периодическом поле решетки, ионы которой имеют бесконечно большие массы и находятся в состоянии покоя. Электроны внутренних атомных оболочек учитываются в целом тем, что они вместе с положительными атомными ядрами создают эффективный периодический решеточный потенциал V. Eстественно, что позитроны в основном движутся по периферии атомов кристалла в силу электростатического отталкивания ядрами. Оператор Гамильтона для электронов и позитронов состоит из четырех составляющих: кинетической энергии электронов (позитронов), кулоновской энергии взаимодействия электронов (позитронов) с ядрами, потенциальной энергии взаимодействия электронов (позитронов) друг с другом и кулоновской энергии взаимодействия электронов с позитронами. Cогласно [190, 196], можно записать уравнение Шредингера для электронной и позитронной подсистем через операторы поля +(), , +(), (), удовлетворяющие ферми-перестановочным соотношениям [190]. Эти операторы разлагаются по собственным функциям и cледующим образом:



; ; (2.6)

; . (2.7)

Отметим, что операторы поля и также удовлетворяют ферми-перестановочным соотношениям. Считаем, как обычно, что собственные функции , образует полный набор ортонормированных функций, но при этом их следует минимизировать так, чтобы они являлись решениями уравнения Шредингера. Для этого используется метод Хартри - Фока [130, 190, 196].

Создадим некоторое состояние Ф электронов и позитронов кристалла. Для этого расположим электроны и позитроны один за другим по состояниям к–1, к–2, ..., к–n, к+1, к+2, ..., к+m. Таким образом,

. (2.8)

Используем волновую функцию (2.8) для построения среднего значения оператора Гамильтона

H  =  H + H+ (2.9)

с дополнительным условием, что функция состояния нормирована.


Далее потребуем условия

(2.10)

и вычислим его как функционал и c дополнительным


условием

. (2.11)

Затем определим и с помощью варьирования, что позволит сразу же получить уравнение Хартри - Фока для одноэлектронных и однопозитронных волновых функций кристалла



; (2.12)

. (2.13)

Здесь - эффективные хартри-фоковские потенциалы, включающие все виды взаимодействий, в общем случае являются периодическими с периодом решетки кристалла.

Ранее никак не уточнялось, насколько заполнены получившиеся электронные и позитронные зоны. Приведенный формализм может быть применен для случая полностью заполненной валентной зоны и соседних электронных и позитронных зон проводимости с одним электроном и одним позитроном. Имеем для функции избыточного электрона

, (2.14)

а для функции избыточного позитрона



, , (2.15)

где L, L+, v - индексы, относящиеся к электронным и позитронным


зонам проводимости и валентной зоне соответственно. Принимаем, что

. (2.16)

Далее, согласно [190, 196], легко рассмотреть применение теории Блоха к системе электронов и позитронов в кристаллической решетке и дать обоснование МЭМ, позволяющие записать полные энергии



+(члены более высокого порядка, которыми пренебрегаем). (2.17)

Здесь - эффективные массы электрона или позитрона. С учетом сдвига по энергии Е0 уравнение Шредингера в блоховском потенциале W (x) записывается в виде

. (2.18)

Решение уравнения (2.18) для позитрона удобнее всего анализировать в приближении Ванье [196], позволяющем описывать локализацию позитрона в окрестности точки на протяжении примерно постоянной решетки. Важным свойством функций Ванье является их ортогональность, т.е. функции Ванье, локализованные в точках l и l или принадлежащие различным значениям  и , взаимно ортогональны



. (2.19)

2.3. Электроны, позитроны и дырки


в идеальном полупроводниковом кристалле

Формализм вторичного квантования позволяет определить электрон, позитрон и дырку как квазичастицы с эффективными массами m, m+, mv соответственно. Для этого рассмотрим взаимодействие между электронами, дырками и позитронами на примере полупроводникового кристалла. Исследуем вопрос о форме эффективных взаимодействий при наличии удаленных из валентной зоны в зону проводимости некоторых электронов (т.е. создание в валентной зоне нескольких дырок). Причем не обязательно число дырок равно числу электронов в зоне проводимости. Их число может быть значительно больше в результате ионизации мелких примесных центров даже при комнатной температуре. Позитроны же вводятся в кристаллы, например, из +-радиоактивного источника (Na22, Cu64 и т.д.) и образуют позитронную зону проводимости. Система такого типа описывается уравнением Шредингера НФ = EФ. Оператор Гамильтона Н, как и ранее, записываем через операторы поля и которые для рассмотрения состояний электронов в валентной зоне v, электронов и позитронов в зоне проводимости разлагаются по собственным функциям валентной зоны и зоны проводимости .

Вводим операторы рождения и уничтожения дырок, электронов и позитронов соответственно. Из соотношений (2.14), (2.15) и введенных операторов рождения и уничтожения квазичастиц следует, что дырка в валентной зоне не полностью тождественна позитрону как реальной частице.
Согласно проведенным расчетам [190], оператор Гамильтона

, (2.20)

где и - операторы, описывающие взаимодействие лептонов в зоне проводимости и взаимодействие лептонов зоны проводимости и валентной зоны. В свою очередь



; (2.21)

. (2.22)

Здесь - взаимодействие электронов в зоне проводимости; - взаимодействие электронов с позитронами; - взаимодействие дырок в валентной зоне; - взаимодействие дырок валентной зоны и позитронов в позитронной зоне проводимости.

Таким образом, оператор Гамильтона для электронов, дырок и
позитронов в кристалле может быть выбран в виде

H = H0 + Hвз = Нэл + Нд + Нпоз + Нэл-эл + Нэл-д +

+ Нпоз-д + Нэл-поз + Нд-д + Wзап, (2.23)

где Wзап - энергия валентной зоны.

В работах [190, 196] нами получены выражения для Hij, входящие в гамильтониан (2.23), через операторы рождения и уничтожения электронов, дырок и позитрона и матричные элементы энергий взаимодействия между соответствующими зонами. Выражения для энергий основного состояния электронов, позитрона и дырок для случая их нахождения вблизи краев зон записываются в виде

; (2.24)

. (2.25)

Сравнение (2.24) и (2.25) четко выявляет различие между позитроном и дыркой.

2.4. Проблема экситона, атома Рs и комплексов
Уилера различной природы
(позитрон-экситонные комплексы и ионы атома Рs)

С учетом приведенной выше многочастичной модели рассмотрим проблему экситонов, атома Рs и позитрон-экситонных комплексов [119, 149]. Задача для общего случая позитрон-экситонного комплекса заключается опять-таки в решении уравнения Шредингера НФ = ЕФ, где гамильтониан Н описывается выражением (2.23).

Рассмотрим уравнение (2.23) для случая одного электрона, одного позитрона и одной дырки. Волновые функции электронов в состоянии
k–1, позитрона в состоянии k+1 и дырки в состоянии k–2 можно получить из состояния, описывающего полностью заполненную валентную зону, последовательным действием операторов рождения , и на функцию валентной зоны

. (2.26)

Из выражения (2.26) следует, что электрон, дырка и позитрон, пролетая друг относительно друга, испытывают взаимное рассеяние, в результате чего попадают в различные конечные состояния ,


. Поэтому следует образовать функцию по всем состояниям электрона, позитрона и дырки. Исходя из этого состояния, волновая функция позитрон-экситонного комплекса имеет вид:

. (2.27)

Гамильтониан трехчастичной системы с учетом сдвига по энергии с тем, чтобы опустить Wзап [190], состоит из выражения для кинетической энергии электрона, позитрона и дырки и взаимодействия между ними

Hобщ  =  Нкин + Нэл-д + Нэл-поз + Нпоз-д. (2.28)

Действуя оператором Нобщ на функцию Ф и выполняя соответствующие преобразования и упрощения, получаем уравнение Шредингера для позитрон-экситонного комплекса







. (2.29)

Позитронно-экситонный комплекс (своеобразное соединение


Уилера) является аналогом классических полиэлектронных систем Уилера ее+е или е+ее+ (ионы позитрония) [119, 405]. Он открыт сравнительно недавно Миллсом [368] в результате изящных экспериментов. Сродство к позитрону (электрону) атома Рs для таких комплексов составляет величину не менее 0,1 эВ, а время жизни относительно аннигиляции, согласно расчетам Ферранте [406], ровно 2 = 5,0210–10 с. Концепция позитрон-экситонного комплекса [154] неоднократно использовалась для объяснения природы позитронной аннигиляции в ионных кристаллах и полупроводниках. Отметим, что из записанного выше трехчастичного уравнения (2.28) позитрон-экситонного комплекса легко получить уравнение для атома Рs большого радиуса и экситона Ванье в кристалле.

Ранее постулировалось утверждение о том, что расстояние между электроном, позитроном и дыркой велико, следовательно, вполне


разумным является разложение операторов поля +(x) и (x) по
блоховским функциям. Можно, однако, рассмотреть и противоположный случай, когда электрон и позитрон находятся на одном и том же атоме - атом Рs малого радиуса или позитроний Френкеля [190]. При этом разложение лучше всего проводить по функциям Ванье. Волновая функция Ванье позитрония Френкеля записывается в виде

. (2.30)

Здесь - оператор рождения локализованного в точке атома Ps. Разумеется, оператор его уничтожения есть . Гамильтониан позитрония Френкеля при помощи этих операторов запишется в виде



. (2.31)

Действуя этим оператором на волновую функцию Ф и проводя


соответствующие упрощения [190], получаем выражение энергии
позитрона Френкеля

, (2.32)

где - волновой вектор позитрония; . Выражение (2.31) представляет собой закон дисперсии для френкелевской позитрониевой зоны в кристалле [190, 196].

2.5. Взаимодействие позитронов и атома Рs
с фононами кристалла в рамках методов
вторичного квантования и функций Грина

По методу вторичного квантования в [190, 196] было учтено взаимодействие позитронов и атома Рs с фононами кристалла. Для этого в рамках нестационарной теории возмущений в представлении взаимодействия рассмотрены процессы cпонтанного и вынужденного испускания и поглощения фононов позитроном в кристалле.

Квантованный гамильтониан Фрелиха системы записывается, как обычно [190], в виде суммы Н = Н0 + Нвз, где Н0 - гамильтониан невозмущенной задачи; Нвз рассматривается как малое возмущение.

Диаграммная техника первого порядка теории возмущений позволяет вычислить вероятность спонтанного и вынужденного испускания и поглощения фононов позитроном. Расчеты же с использованием диаграммной техники второго порядка теории возмущений позволяют найти значения собственной энергии и перенормированной массы позитрона в кристалле: где  - сдвиг по энергии в единицах массы; - зонная эффективная масса.

Использование теоремы о точной форме решения для взаимодействия позитрона с колебаниями решетки стационарного уравнения Шредингера НФ = ЕФ в полярных кристаллах позволяет получить выражение для энергии позитронного полярона Фрелиха [196]:

. (2.33)

Откуда следует, что собственная энергия Е0 и перенормированная масса равны соответственно



; (2.34)

, (2.35)

где  - константа связи.

Для расчетов позитронных процессов в кристаллах был использован метод функций Грина [196]. Показано, что функция Грина позитрона имеет стандартный вид

, (2.36)

и является функцией и  (здесь  имеет размерность частоты).

Рассмотрим функцию (2.36) для фиксированного позитрона, но переменного . Так как знаменатель в - комплексная величина, то эта функция отображается на комплексной -плоскости. Эта функция имеет на комплексной плоскости один полюс, действительная координата которого равна , а мнимая - обратному значению времени жизни. Отсюда приходим к основному понятию: полюс определяет энергию и время жизни позитрона (как квазичастицы) или его взаимодействие с кристаллом (окружением).

Чрезвычайно интересно применение метода функций Грина


к проблеме многих электронов и позитронов в кристалле, развитое
в [196].

2.6. Теория атома Рs в полярных кристаллах.


Учет взаимодействия с фононами

Ниже показано, что поляризация решетки ионного (полярного) кристалла, не только вызывает изменение собственной энергии и перенормировку масс электрона и позитрона, но и создает дополнительное отталкивающее взаимодействие между электроном и позитроном [196].

Исходный гамильтониан атома Рs, учитывающий взаимодействие электрона и позитрона с колебаниями решетки, записывается в виде

H  =  Нэл + Нпоз + Нph + Hвз1 + Нвз2эл-поз. (2.37)

Здесь Нэл и Нпоз - операторы Гамильтона свободных электрона и
позитрона,

, (2.38)

причем в общем случае .

Оператор Нph описывает газ фононов (колебания решетки)

, (2.39)

где и - операторы испускания (рождения) и поглощения фононов соответственно;  - частота продольных колебаний; - волновой вектор фонона.

Члены, отвечающие взаимодействию электрона и позитрона
с фононами, имеют вид

, i = 1, 2. (2.40)

Гамильтониан



(2.41)

где - оптическая диэлектрическая проницаемость.

Задача эффективного взаимодействия электрона с позитроном
(т.е. поляроном) в изложенных выше приближениях была решена методом Хакена [196]. В частности, для полной энергии имеем

. (2.42)

Здесь 0 - статическая диэлектрическая проницаемость; ;



; . (2.43)

Из анализа выражения для полной энергии (2.42) следует, что для атома Рs, так же как и для экситонов, в экспериментах можно установить существование перехода от кулоновского взаимодействия с  при малых радиусах атома Рs к взаимодействию с 0 при больших радиусах атома Ps.





скачать файл



Смотрите также:
Исследование позитронных и позитрониевых состояний в кристалле
117.24kb.
Каждое описание содержит основные теоретические положения, относящиеся к данному разделу дисциплины, описание лабораторной установки, порядок проведения работы и перечень контрольных вопросов
528.8kb.
Программа обследования включает: Предварительная беседа Функциональная диагностика
23.91kb.
Б. П. Константинова на правах рукописи плешанов николай Константинович исследование
279.97kb.
Византийское письменное наследие
119.03kb.
Актуальность
111.09kb.
Вступительный экзамен по направлению 03. 06. 01 Физика и астрономия по специальности (профилю) «Химическая физика, горение и взрыв, физика экстремальных состояний вещества»
15.44kb.
В. В. Фроликовой «Особенности функционирования слова \"типа\" в русской разговорной речи (на материале Звукового корпуса «Один речевой день»)» Рецензируемое исследование
57.46kb.
Лабораторная работа №1 истечение жидкости из резервуара при переменном напоре
77.59kb.
Исследование влияния основных факторов производства на эффективность функционирования агропромышленных предприятий
88.23kb.
Курорт Яхимов
35.18kb.
Иcследование проводимости тонких металлических плёнок
24.27kb.