grandov.ru страница 1
скачать файл
Практическое занятие 6 Ряды Тейлора и Лорана
6.1 Ряд Тейлора

6.2 Ряд Лорана


6.1 Ряд Тейлора

Теорема 1 (Тейлора) Функция , однозначная и аналитическая в круге , единственным образом разлагается в этом круге в ряд Тейлора

,

где , , .

Коэффициенты , учитывая интеграл типа Коши (практическое занятие 5), можно вычислять по формулам



, ,

где – произвольная окружность с центром в точке .

Говорят, что функция голоморфна в точке , если она в некоторой окрестности этой точки раскладывается в ряд по степеням ( ). Функция, голоморфная в каждой точке области , называется голоморфной в этой области.

Особой точкой функции называется точка, в которой функция не является аналитической.

При имеет место ряд Маклорена:



.

Разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций комплексной переменной аналогичны разложениям в ряд Тейлора функций действительной переменной:



, ,

, ,

, ,

, ,

, .

Ряд Тейлора для многозначной функции получается из разложения соответствующей однозначной функции путем прибавления к нему чисел , .


6.2 Ряд Лорана

Ряд вида



,

называется рядом Лорана. Здесь , – фиксированная точка комплексной плоскости; – переменная точка; коэффициенты ряда.

Ряд Лорана представляет собой сумму двух рядов

.

Ряд называется главной частью, ряд правильной частью ряда Лорана.

Заменой переменной главная часть ряда Лорана преобразуется в степенной ряд, который сходится к аналитической функции в круге . Возвращаясь к переменной , имеем, что главная часть сходится к функции в области . Область сходимости представляет собой внешность круга радиуса с центром в точке .

Правильная часть ряда Лорана представляет собой степенной ряд, поэтому его областью сходимости является круг радиуса с центром в точке . Внутри этого круга ряд сходится к некоторой аналитической функции .

Если , то существует общая область сходимости рядов, составляющих ряд Лорана. Внутри кольца ряд Лорана сходится к некоторой аналитической функции . Если , то ряд Лорана расходится.

Областью сходимости ряда Лорана называется общая часть сходимости его главной и правильной частей.

Теорема 2 Функция , аналитическая в кольце , однозначно представляется в этом кольце рядом Лорана , где коэффициенты вычисляются по формуле

, ,

любой замкнутый контур в кольце , содержащий точку внутри.

Рядом Лорана для аналитической функции в окрестности бесконечно удаленной точки называется ряд



,

сходящийся в кольце .

При преобразовании точка отображается в точку и окрестность бесконечно удаленной точки – в окрестность точки . В окрестности точки функция является аналитической и ее разложение в ряд Лорана есть . Возвращаясь к прежней переменной , получаем ряд Лорана для функции в окрестности бесконечно удаленной точки :

,

где , .


Вопросы для самоконтроля
1 Сформулируйте теорему Тейлора.

2 Как определяется ряд Тейлора для многозначных функций?

3 Какой ряд называется рядом Лорана?

4 Что называется областью сходимости ряда Лорана?

5 Какой ряд называется рядом Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки?
Решение типовых примеров
1 Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки и найти область сходимости ряда.

Решение. Найдем нули знаменателя:

; ; .

Тогда .

Функцию можно записать в виде:



.

Используя разложение



, ,

получим:




.

Область сходимости ряда есть , а область сходимости ряда есть . Поэтому областью сходимости ряда является круг .



2 Разложить по степеням функцию .

Решение. Преобразуем функцию :

.

Используя основное разложение функции в ряд Маклорена, получим:





.

Область сходимости данного ряда .



3 Найти несколько первых членов разложения в ряд по степеням функции .

Решение. Найдем производные функции в точке :

или ,

,

,

,

.

Отсюда


; ; ; ; , ….

Подставляя найденные значения производных в ряд Тейлора, получим:



.

4 Разложить в ряд Лорана функцию в круге .

Решение. Преобразуем функцию :

.

Так как


, ,

, ,

то ряд Лорана есть



=

.

Полученный ряд сходится в круге .



5 Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности особой точки

Решение. Используя основное разложение функции в ряд Маклорена, получим



.

Функция является аналитической в кольце .



6 Разложить в ряд Лорана функцию

а) в круге ;

б) в кольце ;

в) в области .



Решение. Функция имеет две особые точки , . Представим функцию в виде

а) разложение в круге :







.

Ряд для первой функции сходится при условии , т. е. в области , для второй – в области , поэтому ряд для функции сходится в круге ;

б) разложение в кольце :





.

Ряд для первой функции сходится, если , т. е. при , для второй функции, если , т. е. если , а ряд для функции сходится в кольце ;

в) разложение для :





.

Ряд для первой функции сходится в области , т. е. при , для второй, если , т. е. если , поэтому ряд для функции сходится в области .



7 Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности ее особых точек .

Решение. Преобразуем функцию:

.

Разложение в окрестности точки по степеням до ближайшей особой точки (в кольце ) есть:



.

Разложение в окрестности точки по степеням , справедливо в кольце :









.
Задания для аудиторной работы
1 Разложить в окрестности указанных точек в ряд Тейлора и найти его области сходимости функции:

а) ; ;и) ; ;б) по степеням ;к) ; ;в) ; ;л) ; ;г) ; ;м) ; ;д) ; ;н) ; ;е) ; ;о) ; ;ж) ; ;п) ; .2 Разложить в ряд Лорана в окрестности особых точек функции:

а) ; и) ;

б) ; к) ;

в) ; л) ;

г) ; м) ;

д) ; н) ;

е) ; о) ;

ж) ; п) .

3 Разложить функции в ряд Лорана:

а) в области ;

б) в области ;

в) в окрестности точек и ;

г) в окрестности точек и ;

д) в окрестности точек и .


Задания для домашней работы
1 Разложить в окрестности указанных точек в ряд Тейлора и найти его области сходимости функции:

а) ; ;и) ; ;б) ; ;к) ; ;в) ; ;л) ; ;г) ; ;м) ; ;д) ; ;н) ; ;е) ; ;о) ; ;ж) ; ;п) ; .2 Разложить в ряд Лорана в окрестности особых точек функции:

а) ; и) ;

б) ; к) ;

в) ; л) ;

г) ; м) ;

д) , н) ;

е) ; о) ;

ж) ; п) .

3 Разложить функции в ряд Лорана:

а) в областях и ;

б) в области ;

в) в окрестности точки ;

г) в окрестности точек и ;

д) в окрестности точек и .



Практическое занятие 7 Классификация изолированных особых точек аналитической функции
7.1 Нули аналитической функции

7.2 Изолированные особые точки аналитической функции


7.3 Нули аналитической функции

Пусть функция является аналитической в точке . Точка называется нулем функции порядка , если выполняются условия



, , …, , .

При точка называется простым нулем.



Теорема 1 Точка является нулем порядка функции , аналитической в точке , тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки имеет место равенство

,

где аналитична в точке и .
7.2 Изолированные особые точки

Точка называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки, в которой аналитична всюду, кроме самой точки .

Изолированная особая точка функции называется:

устранимой особой точкой, если существует конечный предел , ;

полюсом, если ;

существенно особой, если не существует.

Точка является полюсом порядка , если для функции

точка является нулем порядка . Полюс порядка называется простым полюсом.

Теорема 2 Для того чтобы точка являлась полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы функцию можно было представить в виде:

,

где функция аналитична в точке и .

Аналитическая функция называется мероморфной в области , если не имеет в ней других особых точек, кроме полюсов.

Пусть аналитическая функция в окрестности точки разлагается в ряд Лорана:

, .

Теорема 3 Для того чтобы точка была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы ряд Лорана функции не содержал членов с отрицательными степенями разности (ряд Лорана не содержит главной части).

Теорема 4 Для того чтобы точка была полюсом функции , необходимо и достаточно, чтобы ряд Лорана функции содержал конечное число членов с отрицательными степенями разности (в главной части ряда содержится конечное число членов).

Теорема 5 Для того чтобы точка была существенно особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы ряд Лорана содержал бесконечно много членов с отрицательными степенями разности (в главной части ряда содержится бесконечно много членов с отрицательными показателями).

Исследование характера бесконечно удаленной особой точки удобнее проводить путем замены , при которой точка переходит в точку . Тогда:

– если в разложении в ряд Лорана функции нет членов с положительными степенями , то бесконечно удаленная точка называется устранимой особой точкой функции ;

– если в разложении в ряд Лорана функции есть лишь конечное число членов с положительными степенями , то бесконечно удаленная точка называется полюсом функции ;

– если в разложении в ряд Лорана функции есть бесконечно много членов с положительными степенями , то бесконечно удаленная точка называется существенно особой точкой функции .

Функции , , , , в бесконечно удаленной точке имеют существенную особенность, так как их разложения в ряд Лорана содержат бесконечное множество положительных степеней .


Вопросы для самоконтроля

  1. Какая точка называется нулем функции? Что называется кратностью нуля?

  2. Как представима функция, имеющая нуль кратности ?

  3. Какая точка называется изолированной особой точкой?

  4. Какая изолированная особая точка называется: а) устранимой, б) полюсом, в) существенно особой?

  5. Как влияет характер изолированной особой точки на вид ряда Лорана?

  6. Как определяется особенность в бесконечно удаленной точке?


Решение типовых примеров

1 Найти нули и определить их порядок функции

.

Решение. Приравнивая к нулю, получим . Отсюда точки , , есть нули данной функции.

Далее


, ,

, .

Следовательно, точки , , являются нулями 2-го порядка данной функции.



2 Найти порядок нуля функции .

Решение. Используя разложение функции в окрестности точки , получим:



.

Положим .

Тогда , где – функция аналитическая в точке , причем .

Согласно теореме 1, точка является для данной функции нулем 5-го порядка.



3 Какую особенность в точке имеет функция

?

Решение. 1 способ Точка является устранимой особой точкой, так как предел в этой точке равен

.

2 способ В окрестности точки разложение в ряд Лорана имеет вид:

=

.

Видно, что ряд Лорана в точке не содержит членов с отрицательными степенями, т. е. не содержит главной части. Согласно теореме 3 точка является устранимой особой точкой для функции .



4 Какую особенность в точке имеет функция

?

Решение. 1 способ Имеем:

– если вдоль положительной части действительной оси, то ;

– если вдоль отрицательной части действительной оси, то .

Следовательно, данная функция не имеет предела в точке  .



2 способ Разложение в ряд Лорана функции в окрестности точки имеет вид:

.

Видно, что главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов. Согласно теореме 5 точка является существенно особой точкой.



5 Определить какую особенность в бесконечно удаленной точке имеет функция .

Решение. Произведем замену переменной на переменную по формуле . Тогда данная функция принимает следующий вид . При условии имеет место разложение:

.

Возвращаясь к переменной , имеем:



, .

Видно, что ряд Лорана не содержит правильную часть. Следовательно, точка является устранимо особой точкой.



6 Найти особые точки и определить их характер для функции

.

Решение. Особая точка функции есть .

1 способ. Вычислим предел

Значит, является устранимой особой точкой функции.



2 способ. Разложение в ряд Лорана в окрестности точки имеет вид:



.

Ряд Лорана не содержит главной части, значит по теореме 3 точка есть устранимая особая точка данной функции.



7 Найти особые точки и определить их характер для функции

.

Решение. Найдем особые точки функции из условия:

.

Решая уравнение, получим две особые точки ; .

Найдем предел в точке :

Согласно определению, точка – полюс. Чтобы определить его порядок, представим функцию в виде:



,

где – аналитична в точке и .

Отсюда по теореме 2 точка – полюс 2-го порядка функции .

Аналогично точка – полюс, поскольку



.

Так как


,

где – аналитична в точке и , то точка – простой полюс функции



8 Найти особые точки и определить их характер для функции



Решение. Особая точка функции . Так как

,

то точка – полюс.

Для функции точка – нуль третьего порядка, значит, для функции – полюс 3-го порядка.

9 Определить характер особой точки для функции

.

Решение. 1 способ Рассмотрим поведение функции на действительной и мнимой осях.

Пусть и при .

Пусть и при .

Отсюда следует, что функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела в точке и – существенно особая точка функции



2 способ Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки , т. е. в области :

Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, поэтому точка является существенно особой точкой функции .


Задания для аудиторной работы
1 Найти нули и определить их порядок для функций:

а) ; в) ;

б) ; г) .

2 Найти порядок нуля для функций:

а) ; в) ;

б) ; г) .

3 Определить характер особой точки для функций:

а) ; в) ;

б) ; г) .

4 Найти особые точки и определить их характер для функций:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; и) .

5 Определить характер указанных особых точек для функций:

а) , ;

б) , .

Задания для домашней работы
1 Найти нули и определить их порядок для функций:

а) ; в) ;

б) ; г) .

2 Найти порядок нуля для функций:

а) ; б) .



3 Определить характер особой точки для функций:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .



4 Найти особые точки и определить их характер для функций:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; и) .

5 Определить характер указанных особых точек для функций:

а) ; ;



б) , .

скачать файл



Смотрите также:
Практическое занятие 6 Ряды Тейлора и Лорана
370.12kb.
Планы семинарских занятий практическое занятие №1
30.84kb.
Практическое занятие Форматирование символов и абзацев в ms word
65.9kb.
Практическое занятие №8 Гематоэнцефалический барьер
19.35kb.
Практическое занятие 6 Локальные и глобальные экстремумы функции
593.86kb.
Занятие в младшей группе. Воспитатель: Егорова М. А. Занятие№1 Тема Игра"Геометрическое лото"
14.58kb.
Задача ма розкласти в ряд Тейлора функцію до члена X Задача ма 3
24.91kb.
Вводное занятие. Краткий рассказ о куклах Tilda. Знакомство с технологией изготовления игрушек. Инструктаж по технике безопасности
15.92kb.
Aude планы практических (семинарских) занятий по психологии для лечебного факультета. Занятие 1
118.62kb.
Тренюшева Тамара Муратовна, учитель мбоу «Кувакинская сош» Алатырского района Чувашской Республики. Это второе занятие
314.88kb.
Рабочая программа дисциплины "Математика"
362.09kb.
Анна Яблонская, г. Одесса
281.67kb.